Quy tắc nhân và chia căn bậc hai được xây dựng dựa trên ý nghĩa của căn bậc hai aritmetica và tính chất của các phép toán với số thực. Trong bài học này, thông qua việc tổng hợp kết quả tính toán với các giá trị cụ thể, chúng ta sẽ dẫn dắt các bạn khám phá ra quy luật chung:Tích (hoặc thương) của hai căn bậc hai aritmetica của hai số không âm bằng căn bậc hai aritmetica của tích (hoặc thương) hai số đó, và quy tắc này có tính chất hai chiều và có thể đảo ngược.
Nắm vững quy luật này không chỉ nhằm phục vụ các phép tính đại số cơ bản, mà còn giúp hiểu sâu sắc về giới hạn logic nghiêm ngặt rằng số dưới dấu căn phải không âm và mẫu số tuyệt đối không được bằng 0. Điều này cũng mở đường cho các phép tính đa thức hỗn hợp phức tạp và thay đổi trong tương lai.
1. Khám phá quy tắc nhân và ứng dụng thuận nghịch
Như minh họa bên phải màn hình thể hiện, thông qua kiểm chứng với các giá trị cụ thể, chúng ta có thể rút ra một quy luật đại số cực kỳ đẹp đẽ. Bạn có thể tham khảo [Tài nguyên trực quan: Bảng (Trang 6)] Bảng xác minh tính chất nhân của căn thức để so sánh và hiểu sâu hơn.
Thông thường, quy tắc nhân của căn bậc hai là $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab} (a \ge 0, b \ge 0)$.
Ứng dụng thuận của công thức chủ yếu dùng để tính toán kết hợp các căn thức. Hãy cùng xem nó hoạt động như thế nào:
Ví dụ 1 Tính: (1) $\sqrt{3} \times \sqrt{5}$; (2) $\sqrt{\frac{1}{3}} \times \sqrt{27}$
Giải:
(1) $\sqrt{3} \times \sqrt{5} = \sqrt{3 \times 5} = \sqrt{15}$
(2) $\sqrt{\frac{1}{3}} \times \sqrt{27} = \sqrt{\frac{1}{3} \times 27} = \sqrt{9} = 3$
Tương tự, đẳng thức ngược lại $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} (a \ge 0, b \ge 0)$ là công cụ tuyệt vời để phân tách và cấu trúc lại các số lớn hoặc biểu thức đại số phức tạp.
Ví dụ 2 Rút gọn: (1) $\sqrt{16 \times 81}$; (2) $\sqrt{4a^2b^3}$
Giải:
(1) $\sqrt{16 \times 81} = \sqrt{16} \times \sqrt{81} = 4 \times 9 = 36$
(2) Vì $a^2 \ge 0$, $b^3 \ge 0$ nên suy ra $b \ge 0$. $\sqrt{4a^2b^3} = \sqrt{4 \cdot a^2 \cdot b^2 \cdot b} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{b^2} \cdot \sqrt{b} = 2ab\sqrt{b}$
2. Nhân căn thức phức hợp có hệ số
Khi xử lý phép nhân căn thức phức tạp có hệ số hoặc nhiều biến, cần tuân theo nguyên tắc phân phối: 'hệ số hữu tỉ nhân với hệ số hữu tỉ, phần vô tỉ nhân với phần vô tỉ'. Đây là biểu hiện trực tiếp của tính giao hoán và kết hợp trong phép nhân số thực trong lĩnh vực căn thức.
Ví dụ 3 Tính: (1) $\sqrt{14} \times \sqrt{7}$; (2) $3\sqrt{5} \times 2\sqrt{10}$; (3) $\sqrt{3x} \cdot \sqrt{\frac{1}{3}xy}$
Giải:
(1) $\sqrt{14} \times \sqrt{7} = \sqrt{14 \times 7} = \sqrt{2 \times 7^2} = 7\sqrt{2}$
(2) $3\sqrt{5} \times 2\sqrt{10} = (3 \times 2) \times (\sqrt{5 \times 10}) = 6\sqrt{50} = 6 \times 5\sqrt{2} = 30\sqrt{2}$
(3) $\sqrt{3x} \cdot \sqrt{\frac{1}{3}xy} = \sqrt{3x \cdot \frac{1}{3}xy} = \sqrt{x^2y} = x\sqrt{y} \quad (x \ge 0, y \ge 0)$
3. Quy tắc chia và giới hạn logic
Phép nhân và phép chia giống như hai mặt của một phép toán toán học. Như [Tài nguyên trực quan: Bảng (Trang 8)] Bảng xác minh tính chất chia của căn thức chỉ ra, quy luật có tính nhất quán.
Thông thường, quy tắc chia của căn bậc hai là $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} (a \ge 0, b > 0)$, và đẳng thức nghịch đảo là $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} (a \ge 0, b > 0)$. Ở đây phải nhấn mạnh giới hạn logic nghiêm ngặt: mẫu số tuyệt đối không được bằng 0, do đó $b > 0$!
Ví dụ 4 Tính: (1) $\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{3}}$; (2) $\sqrt{\frac{3}{2}} \div \sqrt{\frac{1}{18}}$
Giải:
(1) $\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{24}{3}} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$
(2) $\sqrt{\frac{3}{2}} \div \sqrt{\frac{1}{18}} = \sqrt{\frac{3}{2} \div \frac{1}{18}} = \sqrt{\frac{3}{2} \times 18} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$
2. $\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} (a \ge 0, b \ge 0)$
3. $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} (a \ge 0, b > 0)$
4. $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} (a \ge 0, b > 0)$